STATISTIK NASRUN 17 630 006 RPS PERTEMUAN XIV

Metode Newton

Metode Newton-Raphson adalah metode pencarian akar suatu fungsi f(x) dengan pendekatan satu titik, dimana fungsi f(x) mempunyai turunan. Metode ini dianggap lebih mudah dari Metode Bagi-Dua (Bisection Method) karena metode ini menggunakan pendekatan satu titik sebagai titik awal. Semakin dekat titik awal yang kita pilih dengan akar sebenarnya, maka semakin cepat konvergen ke akarnya.

Photobucket

Prosedur Metode Newton :
Menentukan x_0sebagai titik awal, kemudian menarik garis lurus (misal garis l) yang menyinggung titik f(x0) . Hal ini berakibat garis lmemotong sumbu-x di titik x_1. Setelah itu diulangi langkah sebelumnya tapi sekarang x_1dianggap sebagai titik awalnya. Dari mengulang langkah-langkah sebelumnya akan mendapatkan x_2, x_3, \ldots, x_n dengan x_nyang diperoleh adalah bilangan riil yang merupakan akar atau mendekati akar yang sebenarnya.
Perhatikan gambar diatas untuk menurunkan rumus Metode Newton-Raphson
persamaan garis l : y -y_0 = m(x- x_0)
y -f(x_0) = f'(x_0)(x -x_0)
x_1 adalah perpotongan garis l dengan sumbu-x
0-f(x_0) = f'(x_0)(x -x_0)
y = 0  dan x = x_1   maka koordinat titik (x_1, 0)
-\dfrac{f(x_{0})}{f'(x_{0})} = (x_1-x_0)
x_1 = x_0- \dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}
x_2 = x_1- \dfrac{f(x_1)}{f'(x_1)}
x_n = x_{n-1}- \dfrac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}untuk n = 1, 2, 3, …
Contoh :
Tentukan akar dari persamaan 4x^3-15x^2 + 17x-6 = 0 menggunakan Metode Newton-Raphson.

Penyelesaian :

f(x) = 4x^3-15x^2 + 17x-6
f'(x) = 12x^2-30x + 17
iterasi 1 :
ambil titik awal x0 = 3
f(3) = 4(3)3 – 15(3)2 + 17(3) – 6 = 18
f’(3) = 12(3)2 – 30(3) + 17 = 35
x1 = 3 – \frac{18}{35} = 2.48571

iterasi 2 :
f(2.48571) = 4(2.48571)3 – 15(2.48571)2 + 17(2.48571) – 6 = 5.01019
f’(2.48571) = 12(2.48571)2 – 30(2.48571) + 17 = 16.57388
x2 = 2.48571 – \frac{5.01019}{16.57388} = 2.18342

iterasi 3 :
f(2.18342) = 4(2.18342)3 – 15(2.18342)2 + 17(2.18342) – 6 = 1.24457
f’(2.18342) = 12(2.18342)2 – 30(2.18342) + 17 = 8.70527
x3 = 2.18342 – \frac{1.24457}{8.70527} = 2.04045

iterasi 4 :
f(2.04045) = 4(2.04045)3 – 15(2.04045)2 + 17(2.04045) – 6 = 0.21726
f’(2.04045) = 12(2.04045)2 – 30(2.04045) + 17 = 5.74778
x4 = 2.04045 – \frac{0.21726}{5.74778} = 2.00265

iterasi 5 :
f(3) = 4(2.00265)3 – 15(2.00265)2 + 17(2.00265) – 6 = 0.01334
f’(2.00265) = 12(2.00265)2 – 30(2.00265) + 17 = 5.04787
x5 = 2.00265 – \frac{0.01334}{5.04787} = 2.00001

iterasi 6 :
f(2.00001) = 4(2.00001)3 – 15(2.00001)2 + 17(2.00001) – 6 = 0.00006
f’(2.00001) = 12(2.00001)2 – 30(2.00001) + 17 = 5.00023
x6 = 2.00001 – \frac{0.00006}{5.00023} = 2.00000

iterasi 7 :
f(2) = 4(2)3 – 15(2)2 + 17(2) – 6 = 0

jika disajikan dalam tabel, maka seperti tabel dibawah ini.

n
x_n
f(x_n)
f'(x_n)
0
1
2
3
4
5
6
3
2.48571
2.18342
2.04045
2.00265
2.00001
2.00000
18
5.01019
1.24457
0.21726
0.01334
0.00006
0.00000
35
16.57388
8.70527
5.74778
5.04787
5.00023
5.00000
karena pada iterasi ketujuh f(x6) = 0 maka akar dari persamaan tersebut adalah x=2

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

NASRUN 17-630-006 STATISTIK PERTEMUAN VI RPS

Gambar
PENGUKURAN PENYIMPANGAN (RANGE, DEVIASI, VARIAN) Pengukuran penyimpangan adalah suatu ukuran yang menunjukkan tinggi rendahnya perbedaan data yang diperoleh dari rata-ratanya. Ukuran penyimpangan digunakan untuk mengetahui luas penyimpangan data atau homogenitas data. Dua variabel data yang memiliki mean sama belum tentu memiliki kualitas yang sama, tergantung dari besar atau kecil ukuran penyebaran datanya. Macam-macam pengukuran penyimpangan yang sering digunakan adalah rentangan (range), rentangan antar kuartil, rentangan semi antar kuartil, simpangan rata-rata, simpangan baku, varians, koefisien varians, dan angka baku, namun yang umum digunakan adalah standar deviasi. 1.      RANGE Range adalah perbedaan antara data terbesar dengan data terkecil yang terdapat pada sekelompok data. Range adalah salah satu ukuran statistik yang menunjukan jarak penyebaran data antara nilai terendah (Xmin) dengan nilai tertinggi (Xmax). Ukuran ini sudah digunakan pa...
Baca selengkapnya

NASRUN STATISTIK 17 630 006 PERTEMUAN IX RPS

Gambar
UJI INOVA    Anova satu arah Kapan Anova satu arah digunakan? Pada dasarnya Anova dapat digunakan untuk melakukan pengujian perbandingan rata-rata beberapa kelompok, biasanya terdiri dari lebih dari dua kelompok. Penggunaan Anova kelompok yang berasal dari sampel yang berbeda antar kelompok. Misalkan Jika kita ingin melihat pengaruh  bentuk Kemasan suatu produk terhadap penjualan. Jika faktor yang menjadi perhatian kita untuk selanjutnya diuji adalah berupa satu faktor, misalnya pengaruh  bentuk kemasan suatu produk pada tingkat penjualan, maka ANOVA yang kita gunakan adalah satu arah. Disebut anova satu arah ( One Way Anova ), karena pusat perhatian kita hanya satu, dalam hal ini bentuk kemasan suatu produk. Tetapi jika pusat perhatian kita, selain jenis kemasan, juga tertuju pada pengaruh aroma pada tingkat penjualan, maka digunakan ANOVA dua arah ( Two Way Anova ). Pada dasarnya Anova satu arah juga dapat digunakan untuk kasus yang ...
Baca selengkapnya

CONTOH SOAL UJI BEDA RATA RATA MID STATISTIK

Gambar
Contoh Soal Seorang pemilik toko yang menjual 2 macam bola lampu merek A dan B, berpendapat bahwa tak ada perbedaan rata-rata lamanya menyala bola lampu kedua  merek tersebut. Dengan pendapat alternatif adanya perbedaan ≠ guna menguji pendapat itu dilakukan percobaan atau eksperimen dengan menyalakan 100 buah lampu merek A dan 50 buah bola lampu merek B, sebagai sampel acak. Ternyata bola lampu merek A dapat menyala rata-rata selama 952 jam, sedangkan merek B selama 987 jam, masing-masing dengan simpangan baku sebesar A adalah 85 jam dan B adalah 92 jam. Dengan menggunakan α = 5%, ujilah pendapat tersebut ! Jawaban Soal : Langkah Pertama : Merumuskan Hipotesis H 0   : µ 1   – µ 2   = 0 H 1   : µ 1   – µ 2   ≠ 0 Ø n 1   = 100,   1   = 952,   1   = 85 Ø n 2   = 50,   2   = 987,   2   = 92 Langkah Kedua : Menentukan Taraf Nyata Karena α = 5%. Z α /2 = 1.96 atau -Z α /2 = -1.96 Langkah Ke...
Baca selengkapnya