STATISTIK NASRUN 17 630 006 RPS PERTEMUAN XIV

Metode Newton

Metode Newton-Raphson adalah metode pencarian akar suatu fungsi f(x) dengan pendekatan satu titik, dimana fungsi f(x) mempunyai turunan. Metode ini dianggap lebih mudah dari Metode Bagi-Dua (Bisection Method) karena metode ini menggunakan pendekatan satu titik sebagai titik awal. Semakin dekat titik awal yang kita pilih dengan akar sebenarnya, maka semakin cepat konvergen ke akarnya.

Photobucket

Prosedur Metode Newton :
Menentukan x_0sebagai titik awal, kemudian menarik garis lurus (misal garis l) yang menyinggung titik f(x0) . Hal ini berakibat garis lmemotong sumbu-x di titik x_1. Setelah itu diulangi langkah sebelumnya tapi sekarang x_1dianggap sebagai titik awalnya. Dari mengulang langkah-langkah sebelumnya akan mendapatkan x_2, x_3, \ldots, x_n dengan x_nyang diperoleh adalah bilangan riil yang merupakan akar atau mendekati akar yang sebenarnya.
Perhatikan gambar diatas untuk menurunkan rumus Metode Newton-Raphson
persamaan garis l : y -y_0 = m(x- x_0)
y -f(x_0) = f'(x_0)(x -x_0)
x_1 adalah perpotongan garis l dengan sumbu-x
0-f(x_0) = f'(x_0)(x -x_0)
y = 0  dan x = x_1   maka koordinat titik (x_1, 0)
-\dfrac{f(x_{0})}{f'(x_{0})} = (x_1-x_0)
x_1 = x_0- \dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}
x_2 = x_1- \dfrac{f(x_1)}{f'(x_1)}
x_n = x_{n-1}- \dfrac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}untuk n = 1, 2, 3, …
Contoh :
Tentukan akar dari persamaan 4x^3-15x^2 + 17x-6 = 0 menggunakan Metode Newton-Raphson.

Penyelesaian :

f(x) = 4x^3-15x^2 + 17x-6
f'(x) = 12x^2-30x + 17
iterasi 1 :
ambil titik awal x0 = 3
f(3) = 4(3)3 – 15(3)2 + 17(3) – 6 = 18
f’(3) = 12(3)2 – 30(3) + 17 = 35
x1 = 3 – \frac{18}{35} = 2.48571

iterasi 2 :
f(2.48571) = 4(2.48571)3 – 15(2.48571)2 + 17(2.48571) – 6 = 5.01019
f’(2.48571) = 12(2.48571)2 – 30(2.48571) + 17 = 16.57388
x2 = 2.48571 – \frac{5.01019}{16.57388} = 2.18342

iterasi 3 :
f(2.18342) = 4(2.18342)3 – 15(2.18342)2 + 17(2.18342) – 6 = 1.24457
f’(2.18342) = 12(2.18342)2 – 30(2.18342) + 17 = 8.70527
x3 = 2.18342 – \frac{1.24457}{8.70527} = 2.04045

iterasi 4 :
f(2.04045) = 4(2.04045)3 – 15(2.04045)2 + 17(2.04045) – 6 = 0.21726
f’(2.04045) = 12(2.04045)2 – 30(2.04045) + 17 = 5.74778
x4 = 2.04045 – \frac{0.21726}{5.74778} = 2.00265

iterasi 5 :
f(3) = 4(2.00265)3 – 15(2.00265)2 + 17(2.00265) – 6 = 0.01334
f’(2.00265) = 12(2.00265)2 – 30(2.00265) + 17 = 5.04787
x5 = 2.00265 – \frac{0.01334}{5.04787} = 2.00001

iterasi 6 :
f(2.00001) = 4(2.00001)3 – 15(2.00001)2 + 17(2.00001) – 6 = 0.00006
f’(2.00001) = 12(2.00001)2 – 30(2.00001) + 17 = 5.00023
x6 = 2.00001 – \frac{0.00006}{5.00023} = 2.00000

iterasi 7 :
f(2) = 4(2)3 – 15(2)2 + 17(2) – 6 = 0

jika disajikan dalam tabel, maka seperti tabel dibawah ini.

n
x_n
f(x_n)
f'(x_n)
0
1
2
3
4
5
6
3
2.48571
2.18342
2.04045
2.00265
2.00001
2.00000
18
5.01019
1.24457
0.21726
0.01334
0.00006
0.00000
35
16.57388
8.70527
5.74778
5.04787
5.00023
5.00000
karena pada iterasi ketujuh f(x6) = 0 maka akar dari persamaan tersebut adalah x=2

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

NASRUN STATISTIK 17 630 006 PERTEMUAN XI RPS

Gambar
Metode Beda Hingga Salah satu cara utk menyelesaikan persamaan differential adalah dengan menggunakan metode beda hingga atau yg lbh dikenal dgn finite difference method. Metode ini menggunakan pendekatan ekspansi Taylor di titik acuannya (x). Ada tiga jenis beda (difference) yg bisa kita gunakan utk mencari nilai f(x+∆x). Ketiga jenis beda ini disebut forward difference, backward difference, dan central difference. Supaya gak lupa, penurunannya saya berikan di sini. Forward difference Utk forward difference, kita ingin mencari nilai suatu fungsi jika independent variablenya digeser ke depan (makanya namanya forward difference) sebesar ∆x. Sederhananya, jika kita tahu f(x), maka berapakah f(x+∆x)? Ekspansi Taylor dituliskan sbb: Secara umum, symbol ∂f/∂x*∆x menunjukkan kemiringan (gradient) nilai fungsi f pada f(x) jika x digeser sebesar ∆x. Sementara symbol ∂ 2 f/∂x 2 menunjukkan lengkungan (curvature) dari titik f(x) tsb jik...
Baca selengkapnya

CONTOH SOAL PENGAMBILAN SAMPEL MID STATISTIK

1.       Pengambilan sampel dengan metode Quota Sampling Contoh soal : Apabila akan diteliti   kebiasaan membaca Koran dari orang dewasa di Baubau yang di perkirakan 4 juta orang dan akan diambil 10000 sampel dengan kontrol sebagai beikut: a.        Jenis kelamin : Pria dan wanita b.       Usia                  : 18-30   31-45   46-60   >60 tahun Bagaimana aplikasi Quota sampling dalam melanjutkan penelitian tersebut? Penyelesaian : Dalam kaitannya dalam penelitian ini,mungkin quota sampling   bukan merupakan satu-satunya pilihan,tetapi karena dengan Quota Sampling kita dapat membuat pencerminan dari populasinya maka penyelesaiannya sebagai berikut : a.        Jenis Kelamin :             ...
Baca selengkapnya

NASRUN 17-630-006 STATISTIK PERTEMUAN VI RPS

Gambar
PENGUKURAN PENYIMPANGAN (RANGE, DEVIASI, VARIAN) Pengukuran penyimpangan adalah suatu ukuran yang menunjukkan tinggi rendahnya perbedaan data yang diperoleh dari rata-ratanya. Ukuran penyimpangan digunakan untuk mengetahui luas penyimpangan data atau homogenitas data. Dua variabel data yang memiliki mean sama belum tentu memiliki kualitas yang sama, tergantung dari besar atau kecil ukuran penyebaran datanya. Macam-macam pengukuran penyimpangan yang sering digunakan adalah rentangan (range), rentangan antar kuartil, rentangan semi antar kuartil, simpangan rata-rata, simpangan baku, varians, koefisien varians, dan angka baku, namun yang umum digunakan adalah standar deviasi. 1.      RANGE Range adalah perbedaan antara data terbesar dengan data terkecil yang terdapat pada sekelompok data. Range adalah salah satu ukuran statistik yang menunjukan jarak penyebaran data antara nilai terendah (Xmin) dengan nilai tertinggi (Xmax). Ukuran ini sudah digunakan pa...
Baca selengkapnya